行测数学运算解题方法之比例问题
根据广东公务员考试大纲，数量关系题是广东省公务员考试必考内容，广东公务员考试网（www.gdgkw.org）特准备一些列解题技巧供考生参考。本期介绍行测数学运算解题方法之比例问题：
关键提示：
比例问题是公务员考试必考题型，也是数学运算中最重要的题型;
解决好比例问题，关键要从两点入手：第一，“和谁比”;第二，“增加或下降多少”。
【例1 】 b比a增加了20%，则b是a的多少? a又是b的多少呢?
【解析】可根据方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。
A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。
【例2】 养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?
A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B类真题)
解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，选择B。
【例3 】 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?
A.2900万元 B.3000万元 C.3100万元 D.3300万元(2003年中央A类真题)
【解析】方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。
特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。
【例4 】 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?
A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A类真题)
【解析】这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题讲解)的比例问题。
根据已知 大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件;
大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件;
此题可以用另一思路进行解析(多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力)
大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件;
小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件;
所以，答案为C。
【例5】 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%;低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成;高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?
A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A类真题)
【解析】这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。
奖金应为 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75
所以，答案为B。
【例6】 某校在原有基础(学生700人，教师300人)上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几?
A.7% B.8% C.10.3% D.115% (2003年中央A类真题)
【解析】根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到(300+75)×2=750人，学生人数增加的比列则为 (750-700)÷700≈7.1%
所以，选择A。
【例7】 某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P%纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为
A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江苏真题)
【解析】选用方程法。根据题意列式如下：
(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120
即 480×P%=120
P%=25%
所以，答案为B。
【例8】 甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出 放人乙盒，再从乙盒取出 放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗?
A.40颗 B.48颗
C.52颗 D.60颗 (2004年浙江真题)
『答案』 B
【解析】 此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆推法更快捷。
【例9】甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?
A.30个 B.35个 C.40个 D.45个 (2002年A类真题)
【解析】选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：
(1+1.3X)×8=736
X=40
所以，选择C。
【例10】已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001年中央真题)
【解析】显然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，
所以，甲>乙>丙>丁，选择A。
【例11】某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是：
A.18000元 B.20000元 C.25000元 D.30000元 (2001年中央真题)
【解析】设总预算为X，则可列议程为，
25%X=6000÷(1+20%)，解得X=20000
所以，答案为B。
【例12】 一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：
A.490元 B.500元 C.520元 D.560元 (2001年中央真题)
【解析】连续涨(降)价相同幅度的基本公式如下：
a=c a表示涨(降)价前的价格;b表示涨(降)价的百分比;c表示涨(降)价后的价格;n连续涨(降)价的年数。
如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程：
X =405，解得X=500
所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。
【例13】某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比：
A.降低了5% B.提高了5% C.提高了20% D.提高了25%(2001年中央真题)
【解析】此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。
所以，答案为D。
【例14】 某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是
A.4950元 B.4990元 C.5000元 D.5010元 (2000年中央真题)
【解析】采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为
X×(1-10%)×(1-2%)=4410，解得X=5000。
所以，正确答案为C。
注，此题不能用例11的基本公式，因为降价幅度不同。
【例15】某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少?
A.51% B.43% C.40% D.34% (2000年中央真题)
解析：设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为：
70×(1-70%)+(350-70)×(1-X)=180
解得X≈43%
所以，正确答案为B。
【例16】某储户于1999年1月1 日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000年1月1 日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20%，则该储户实际提取本金合计为
A.61 200元 B.61 160元 C.61 000元 D.60 040元
【解析】如不考虑利息税，则1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元
所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，问现在的价格是调价前的多少?(30%)像这样的反复变化的比例关系并无难点，关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少，以上题为例，商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，则此时商品的价格为1.5a元，第二次调价时又下降了80%，则此时的价格为1.5a×(1-80%)=0.3a元。
【例17】 甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是( )。(2002年B类真题)
A.3：5：4 B.4：5：6 C.2：3：4 D.3：4：5
【解析】我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+8=96，则X=24，尽而可算出比例关系为3：4：5即为选项D。这里请注意，我们在进行数学运算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用96-16-8=72，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。
【例18】 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少 ( ) ?
A.2900万元 B.3000万元 C.3100万元 D.3300万元
【解析】对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100，所以选择C。
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关键提示：
比例问题是公务员考试必考题型，也是数学运算中最重要的题型;
解决好比例问题，关键要从两点入手：第一，“和谁比”;第二，“增加或下降多少”。
【例1 】 b比a增加了20%，则b是a的多少? a又是b的多少呢?
【解析】可根据方程的思想列式得 a×(1+20%)=b，所以b是a的1.2倍。
A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。
【例2】 养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?
A.200 B.4000 C.5000 D.6000 (2004年中央B类真题)
解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，选择B。
【例3 】 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?
A.2900万元 B.3000万元 C.3100万元 D.3300万元(2003年中央A类真题)
【解析】方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%)，也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。
特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。
【例4 】 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?
A.15 B.25 C.35 D.40 (2003年中央A类真题)
【解析】这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题讲解)的比例问题。
根据已知 大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件;
大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件;
此题可以用另一思路进行解析(多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力)
大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件;
小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件;
所以，答案为C。
【例5】 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%;低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成;高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?
A.2 B.2.75 C.3 D.4.5 (2003年中央A类真题)
【解析】这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。
奖金应为 10×10%+(20-10)×7.5%+(40-20)×5%=2.75
所以，答案为B。
【例6】 某校在原有基础(学生700人，教师300人)上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几?
A.7% B.8% C.10.3% D.115% (2003年中央A类真题)
【解析】根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到(300+75)×2=750人，学生人数增加的比列则为 (750-700)÷700≈7.1%
所以，选择A。
【例7】 某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P%纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为
A.40% B.25% C.12% D.10% (2004年江苏真题)
【解析】选用方程法。根据题意列式如下：
(1000-500-200)×P%+(200-1000×2%)×P%=120
即 480×P%=120
P%=25%
所以，答案为B。
【例8】 甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出 放人乙盒，再从乙盒取出 放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗?
A.40颗 B.48颗
C.52颗 D.60颗 (2004年浙江真题)
『答案』 B
【解析】 此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆推法更快捷。
【例9】甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?
A.30个 B.35个 C.40个 D.45个 (2002年A类真题)
【解析】选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：
(1+1.3X)×8=736
X=40
所以，选择C。
【例10】已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 (2001年中央真题)
【解析】显然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，
所以，甲>乙>丙>丁，选择A。
【例11】某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是：
A.18000元 B.20000元 C.25000元 D.30000元 (2001年中央真题)
【解析】设总预算为X，则可列议程为，
25%X=6000÷(1+20%)，解得X=20000
所以，答案为B。
【例12】 一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：
A.490元 B.500元 C.520元 D.560元 (2001年中央真题)
【解析】连续涨(降)价相同幅度的基本公式如下：
a=c a表示涨(降)价前的价格;b表示涨(降)价的百分比;c表示涨(降)价后的价格;n连续涨(降)价的年数。
如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程：
X =405，解得X=500
所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。
【例13】某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比：
A.降低了5% B.提高了5% C.提高了20% D.提高了25%(2001年中央真题)
【解析】此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。
所以，答案为D。
【例14】 某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是
A.4950元 B.4990元 C.5000元 D.5010元 (2000年中央真题)
【解析】采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为
X×(1-10%)×(1-2%)=4410，解得X=5000。
所以，正确答案为C。
注，此题不能用例11的基本公式，因为降价幅度不同。
【例15】某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少?
A.51% B.43% C.40% D.34% (2000年中央真题)
解析：设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为：
70×(1-70%)+(350-70)×(1-X)=180
解得X≈43%
所以，正确答案为B。
【例16】某储户于1999年1月1 日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000年1月1 日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20%，则该储户实际提取本金合计为
A.61 200元 B.61 160元 C.61 000元 D.60 040元
【解析】如不考虑利息税，则1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元
所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，问现在的价格是调价前的多少?(30%)像这样的反复变化的比例关系并无难点，关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少，以上题为例，商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，则此时商品的价格为1.5a元，第二次调价时又下降了80%，则此时的价格为1.5a×(1-80%)=0.3a元。
【例17】 甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是( )。(2002年B类真题)
A.3：5：4 B.4：5：6 C.2：3：4 D.3：4：5
【解析】我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+8=96，则X=24，尽而可算出比例关系为3：4：5即为选项D。这里请注意，我们在进行数学运算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用96-16-8=72，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。
【例18】 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少 ( ) ?
A.2900万元 B.3000万元 C.3100万元 D.3300万元
【解析】对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-(20%) =0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100，所以选择C。
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